高考数学全国卷3一直非常被认可,它对于广大考生来说至关重要，这份试卷涵盖了众多聪明点，全面考查了学生的数学素养和解题能力，对其答案进行详细解析，有助于考生了解自己的答题情况，也能为今后准备高考数学的同学们提供有价格的参考。

选择题答案解析

（一）题目1

已知++(A = – 1,0,1,2})，(B = x|x^2 \leq 1})，则(A\cap B = (\ )) A. ( – 1,0,1}) B. ( 0,1}) C. ( – 1,1}) D. ( 0,1,2})

答案：A

解析：先求解++(B)，由(x^2 \leq 1)，可得(-1 \leq x \leq 1)，即(B = x|-1 \leq x \leq 1})，A\cap B = – 1,0,1})，因此答案选A。

（二）题目2

((1 + i)(2 – i) = (\ )) A. ( – 3 – i) B. ( – 3 + i) C. (3 – i) D. (3 + i)

答案：D

解析：根据复数乘法法则展开式子，((1 + i)(2 – i)=2 – i + 2i – i^2)，由于(i^2 = – 1)，因此原式(=2 + i + 1 = 3 + i)，答案是D。

（三）题目3

中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）

答案：A

解析：从俯视图的角度看，带卯眼的木构件要与给定的榫头木构件咬合成长方体，榫头是右边的小长方体，那么卯眼在俯视图中应该呈现出能够容纳榫头的形状，只有选项A符合，其形状可以与榫头完美咬合形成长方体。

（四）题目4

若(\sin\alpha = \frac1}3})，则(\cos2\alpha = (\ )) A. (\frac8}9}) B. (\frac7}9}) C. (-\frac7}9}) D. (-\frac8}9})

答案：B

解析：根据二倍角余弦公式(\cos2\alpha = 1 – 2\sin^2\alpha)，已知(\sin\alpha = \frac1}3})，则(\cos2\alpha = 1 – 2\times(\frac1}3})^2 = 1 – \frac2}9} = \frac7}9})，因此答案是B。

（五）题目5

已知双曲线(C:\fracx^2}a^2} – \fracy^2}b^2} = 1(a \gt 0,b \gt 0))的一条渐近线方程为(y = \frac\sqrt5}}2}x)，且与椭圆(\fracx^2}12} + \fracy^2}3} = 1)有公共焦点，则(C)的方程为（ ） A. (\fracx^2}8} – \fracy^2}10} = 1) B. (\fracx^2}4} – \fracy^2}5} = 1) C. (\fracx^2}5} – \fracy^2}4} = 1) D. (\fracx^2}4} – \fracy^2}3} = 1)

答案：B

解析：椭圆(\fracx^2}12} + \fracy^2}3} = 1)的焦点坐标为((\pm 3,0))，因此双曲线中(c = 3)，又由于双曲线的一条渐近线方程为(y = \frac\sqrt5}}2}x)，即(\fracb}a} = \frac\sqrt5}}2})，且(c^2 = a^2 + b^2 = 9)，联立可得方程组(\begincases}\fracb}a} = \frac\sqrt5}}2}\a^2 + b^2 = 9\endcases})，解这个方程组，将(b = \frac\sqrt5}}2}a)代入(a^2 + b^2 = 9)中，得到(a^2 + (\frac\sqrt5}}2}a)^2 = 9)，即(a^2 + \frac5}4}a^2 = 9)，(\frac9}4}a^2 = 9)，解得(a^2 = 4)，则(b^2 = 5)，因此双曲线(C)的方程为(\fracx^2}4} – \fracy^2}5} = 1)，答案选B。

（六）题目6

已知函数(f(x) = x^2 – 2x + a(e^x – 1} + e^-x + 1}))有唯一零点，则(a = (\ )) A. (-\frac1}2}) B. (\frac1}3}) C. (\frac1}2}) D. (1)

答案：C

解析：对函数(f(x))进行变形，(f(x) = x^2 – 2x + 1 – 1 + a(e^x – 1} + e^-x + 1}) = (x – 1)^2 + a(e^x – 1} + e^-x + 1}) – 1)，令(x – 1 = t)，则函数可化为(g(t) = t^2 + a(e^t + e^-t}) – 1)，由于(g(t))是偶函数，其图象关于(y)轴对称，又由于函数(f(x))有唯一零点，g(t))也有唯一零点，且这个零点只能是(t = 0)，将(t = 0)代入(g(t))得(0 + 2a – 1 = 0)，解得(a = \frac1}2})，答案选C。

（七）题目7

函数(y = \frac1 – x^2}2 + x^2})的值域是（ ） A. (( – 1,\frac1}2}]) B. (( – 1,1)) C. (( – \frac1}2},1)) D. (( – \infty, – 1)\cup(\frac1}2}, + \infty))

答案：A

解析：对函数(y = \frac1 – x^2}2 + x^2})进行变形，(y = \frac- (x^2 + 2) + 3}x^2 + 2} = – 1 + \frac3}x^2 + 2})，由于(x^2 \geq 0)，x^2 + 2 \geq 2)，则(0 \lt \frac1}x^2 + 2} \leq \frac1}2})，0 \lt \frac3}x^2 + 2} \leq \frac3}2})，-1 \lt – 1 + \frac3}x^2 + 2} \leq \frac1}2})，即函数的值域是(( – 1,\frac1}2}])，答案选A。

（八）题目8

某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为(p)，各成员的支付方式相互独立，设(X)为该群体的(10)位成员中使用移动支付的人数，(D(X) = 2.4)，(P(X = 4) \lt P(X = 6))，则(p = (\ )) A. (0.7) B. (0.6) C. (0.4) D. (0.3)

答案：B

解析：已知(X)服从二项分布(B(10,p))，根据二项分布的方差公式(D(X) = np(1 – p))，可得(10p(1 – p) = 2.4)，即(p^2 – p + 0.24 = 0)，因式分解为((p – 0.6)(p – 0.4) = 0)，解得(p = 0.6)或(p = 0.4)，又由于(P(X = 4) \lt P(X = 6))，根据二项分布的概率公式(P(X = k) = Cn}^k p^k(1 – p)^n – k})，可得(C10}^4 p^4(1 – p)^6 \lt C_10}^6 p^6(1 – p)^4)，化简得((1 – p)^2 \lt p^2)，即(1 – 2p + p^2 \lt p^2)，解得(p \gt 0.5)，p = 0.6)，答案选B。

填空题答案解析

（一）题目9

若(\tan\alpha = 2)，则(\frac\sin\alpha + \cos\alpha}\sin\alpha – \cos\alpha} + \cos^2\alpha = )__。

答案：(\frac16}5})

解析：由于(\tan\alpha = 2)，将(\frac\sin\alpha + \cos\alpha}\sin\alpha – \cos\alpha})分子分母同时除以(\cos\alpha)得(\frac\tan\alpha + 1}\tan\alpha – 1})，把(\tan\alpha = 2)代入得(\frac2 + 1}2 – 1} = 3)，又由于(\cos^2\alpha = \frac\cos^2\alpha}\sin^2\alpha + \cos^2\alpha} = \frac1}\tan^2\alpha + 1})，把(\tan\alpha = 2)代入得(\frac1}2^2 + 1} = \frac1}5})，\frac\sin\alpha + \cos\alpha}\sin\alpha – \cos\alpha} + \cos^2\alpha = 3 + \frac1}5} = \frac16}5})。

（二）题目10

已知圆柱的高为(1)，它的两个底面的圆周在直径为(2)的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为__。

答案：(\frac3\pi}4})

解析：设圆柱的底面半径为(r)，球的半径为(R = 1)，圆柱的高(h = 1)，根据圆柱底面圆周在球面上，可得(r = \sqrtR^2 – (\frach}2})^2} = \sqrt1 – (\frac1}2})^2} = \frac\sqrt3}}2})，那么圆柱的体积(V = \pi r^2h = \pi\times(\frac\sqrt3}}2})^2\times1 = \frac3\pi}4})。

（三）题目11

曲线(y = (ax + 1)e^x)在点((0,1))处的切线的斜率为(-2)，则(a = )__。

答案：(-3)

解析：对(y = (ax + 1)e^x)求导，根据乘积的求导法则((uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime)，可得(y^\prime = a e^x + (ax + 1)e^x)，将(x = 0)代入导函数，由于曲线在点((0,1))处切线斜率为(-2)，y^\prime|_x = 0} = a + 1 = – 2)，解得(a = – 3)。

（四）题目12

已知(a \gt 0)，(b \gt 0)，(a + b = 2)，则(y = \frac1}a} + \frac4}b})的最小值是__。

答案：(\frac9}2})

解析：由于(a + b = 2)，\frac1}2}(a + b) = 1)，则(y = \frac1}a} + \frac4}b} = \frac1}2}(a + b)(\frac1}a} + \frac4}b}) = \frac1}2}(1 + \frac4a}b} + \fracb}a} + 4) = \frac1}2}(5 + \frac4a}b} + \fracb}a}))，根据基本不等式(\frac4a}b} + \fracb}a} \geq 2\sqrt\frac4a}b}\times\fracb}a}} = 4)，当且仅当(\frac4a}b} = \fracb}a})时等号成立，y = \frac1}2}(5 + \frac4a}b} + \fracb}a}) \geq \frac1}2}(5 + 4) = \frac9}2})，即(y)的最小值是(\frac9}2})。

解答题答案解析

（一）题目17

等比数列( a_n})中，(a_1 = 1)，(a_5 = 4a_3)。 （1）求( a_n})的通项公式； （2）记(S_n)为( a_n})的前(n)项和，若(S_m = 63)，求(m)。

解析： （1）设等比数列( a_n})的公比为(q)，已知(a_5 = 4a_3)，根据等比数列通项公式(a_n = a_1q^n – 1})，可得(a_1q^4 = 4a_1q^2)，由于(a_1 = 1)，q^4 = 4q^2)，即(q^4 – 4q^2 = 0)，因式分解得(q^2(q^2 – 4) = 0)，解得(q = \pm 2)。 当(q = 2)时，(a_n = a_1q^n – 1} = 2^n – 1})；当(q = – 2)时，(a_n = a_1q^n – 1} = (-2)^n – 1})。 a_n})的通项公式为(a_n = 2^n – 1})或(a_n = (-2)^n – 1})。

（2）当(q = 2)时，等比数列的前(n)项和公式(S_n = \fraca_1(1 – q^n)}1 – q})，则(S_n = \frac1 – 2^n}1 – 2} = 2^n – 1)，已知(S_m = 63)，即(2^m – 1 = 63)，解得(2^m = 64)，m =